Bài viết này Vted hệ thống lại những dạng toán về ma trận nghịch hòn đảo và phương thức giải
Gj
Bu.png" alt="*">
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO LÀ GÌ? CÁCH GIẢI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO LÀ GÌ
Ma trận phụ hòa hợp và những tính chất
Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ cùng $A_ij$ là phần bù đại số của phần tử $a_ij$ của ma trận $A.$ khi đó:
Ma trận $A^* = left( eginarray*20c A_11&A_21&...&A_n1 \ A_12&A_22&...&A_n2 \ ...&...&...&... \ A_1n&A_2n&...&A_nn endarray ight)$ được call là ma trận phụ thích hợp của ma trận $A.$
Vậy $A^*=(a_ij^*)_n imes n=left( A_ji
ight)_n imes n$ với $(k
A)_ij=k^n-1A_ijRightarrow (k
A)^*=k^n-1A^*.$ Suy ra
Phần tử ở trong trên dòng i, cột j của ma trận phụ đúng theo $A^*$ là $a_ij^*=A_ji=left( -1 ight)^j+iM_ji$
Phần tử ở trong trên mẫu i, cột j của ma trận phụ thích hợp $left( k
A
ight)^*$ là $k^n-1A_ji=k^n-1left( -1
ight)^j+iM_ji$
Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m& - 1\ 3&4& - 2&5\ - 3&4&1&2\ - 1&2& - 3&4 endarray ight).$ Tìm phần tử thuộc dòng 3, cột 2 của các ma trận phụ đúng theo $A^*$ với $left( -2023A ight)^*.$
Giải.
Bạn đang xem: Cách giải ma trận nghịch đảo
Ta gồm $A^* = (a_ij^*)_n imes n = left( A_ji
ight)_n imes n Rightarrow a_32^* = A_23 = ( - 1)^2 + 3left| eginarray*20c 1&2& - 1 \ - 3&4&2 \ - 1&2&4 endarray
ight| = - 34.$
Và $(k
A)_ij=k^n-1A_ijRightarrow (k
A)^*=k^n-1A^*.$ Suy ra phần tử thuộc trên mẫu i, cột j của ma trận phụ hòa hợp $left( k
A
ight)^*$ là $k^n-1A_ji=k^n-1left( -1
ight)^j+iM_ji.$ Vậy bộ phận thuộc cái 3, cột 2 của ma trận $left( -2023A
ight)^*$ là $left( - 2023
ight)^3left( - 1
ight)^2 + 3left| eginarray*20c 1&2& - 1 \ - 3&4&2 \ - 1&2&4 endarray
ight| = - 34 imes 2023^3.$
Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hòa hợp của ma trận $A = left( eginarray*20c a&b \ c&d endarray ight).$ Áp dụng kiếm tìm ma trận $A$ nếu $A^* = left( eginarray*20c 2022&2023 \ 2024&2025 endarray ight).$
Giải.Ta có $A_11 = d,A_12 = - c,A_21 = - b,A_22 = a Rightarrow A^* = left( eginarray*20c d& - b \ - c&a endarray ight).$
Vậy nếu $A^* = left( eginarray*20c 2022&2023 \ 2024&2025 endarray ight) Rightarrow a = 2025;b = - 2023;c = - 2024;d = 2022 Rightarrow A = left( eginarray*20c 2025& - 2023 \ - 2024&2022 endarray ight).$
Ví dụ 3:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3 \ - 1&0&4 \ 2&5& - 1 endarray ight).$ kiếm tìm ma trận phụ hợp $A^*$ của $A.$
Giải.Ta có
<egingathered A_11 = left| eginarray*20c 0&4 \ 5& - 1 endarray ight| = - 20,A_12 = - left| eginarray*20c - 1&4 \ 2& - 1 endarray ight| = 7,A_13 = left| eginarray*20c - 1&0 \ 2&5 endarray ight| = - 5 hfill \ A_21 = - left| eginarray*20c 2&3 \ 5& - 1 endarray ight| = 17,A_22 = left| eginarray*20c 1&3 \ 2& - 1 endarray ight| = - 7,A_23 = - left| eginarray*20c 1&2 \ 2&5 endarray ight| = - 1 hfill \ A_31 = left| eginarray*20c 2&3 \ 0&4 endarray ight| = 8,A_32 = - left| eginarray*20c 1&3 \ - 1&4 endarray ight| = - 7,A_33 = left| eginarray*20c 1&2 \ - 1&0 endarray ight| = 2 hfill \ endgathered >
Vậy
Các đặc thù của ma trận phụ hợp
Bổ đề 1:Cho ma trận vuông $A=(a_ij)_n imes n$ với $A_ij$ là phần bù đại số của phần tử $a_ij.$ chứng minh rằng:
i) $a_i1A_k1 + a_i2A_k2 + ... + a_inA_kn = left{ egingathered det (A),i = k hfill \ 0,i e k hfill \ endgathered ight.;$
ii) $a_1jA_1q + a_2jA_2q + ... + a_njA_nq = left{ egingathered det (A),j = q hfill \ 0,j e q hfill \ endgathered ight..$
Bổ đề 2: Cho ma trận vuông $A=(a_ij)_n imes n$ gồm $A^*$ là ma trận phụ vừa lòng của $A,$ khi đó:
$AA^*=A^*A=det (A)E.$
Bổ đề 3: Ta tất cả $det (A^*)=(det (A))^n-1.$
Bổ đề 4: Nếu $det (A)=0$ lúc đó các cột của $A^*$ là nghiệm của hệ thuần độc nhất vô nhị $AX=O.$
Chứng minh độc giả xem trên đây:https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu-hop-cua-Chung-minh-rang-a-b-/57eb1653-e4e6-47fe-b3e6-d34a7fe5b859
Định nghĩa ma trận nghịch đảo
a) Xét ma trận vuông $A.$ Ma trận vuông $X$ cùng cấp cho với $A$ được điện thoại tư vấn là ma trận nghịch đảo của $A$ nếu ưng ý $AX=XA=E,$ kí hiệu là $A^-1.$ Vậy $AA^-1=A^-1A=E.$ Ma trận nghịch hòn đảo nếu mãi mãi thì đó là duy nhất.
b) Ma trận vuông $A$ gồm ma trận nghịch đảo khi và chỉ còn khi $A$ gồm định thức khác 0, khi đó $A^-1=dfrac1det (A)A^*.$ Trường hợp này ta call $A$ là ma trận khả nghịch xuất xắc ma trận không suy biến. Ngược lại nếu định thức của $A$ bởi 0 thì ta call $A$ là ma trận suy biến.
Bài toán tìm bộ phận thuộc chiếc i với cột j của ma trận nghịch đảo
+ phần tử nằm trên chiếc thứ i với cột sản phẩm j của ma trận $A^-1$ là $dfrac1det (A)a_ij^*=dfrac1det (A)A_ji.$
+ thành phần nằm trên chiếc thứ i cùng cột sản phẩm công nghệ j của ma trận $(k
A)^-1$ là $dfrac1det (k
A)(k
A)_ji=dfrac1k^ndet (A)k^n-1A_ji=dfrac1kdet (A)A_ji.$
+ phần tử nằm trên chiếc thứ i cùng cột sản phẩm công nghệ j của ma trận $(A")^-1$ là $dfrac1det (A")A"_ji=dfrac1det (A)A"_ji.$
+ phần tử nằm trên mẫu thứ i và cột lắp thêm j của ma trận $(kA")^-1$ là $dfrac1det (kA")(kA")_ji=dfrac1k^ndet (A)k^n-1A"_ji=dfrac1kdet (A)A"_ji.$
c) từ bỏ $A.A^-1=A^-1.A=ERightarrow det left( A ight).det left( A^-1 ight)=det left( E ight)=1Rightarrow det (A^-1)=dfrac1det (A).$
d) với $A,B$ là các ma trận vuông cùng cấp cho không suy trở thành ta gồm $left( AB ight)^*=B^*A^*$ và $(AB)^-1=B^-1A^-1.$
Chứng minh xem trên đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-hai-ma-tran-vuong-cung-cap-va-khong-suy-bien-Chung-minh-rang-/d6ad5a5f-dd59-4087-9aa1-c4623f2dfbc2
e) với $A$ là ma trận ko suy đổi thay thì $(A^-1)^*=(A^*)^-1=dfrac1det (A)A$ với $A=dfrac1left( det (A) ight)^n-2left( A^* ight)^*$
Chứng minh xem tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-ma-tran-vuong-cap-khong-suy-bien-Chung-minh-rang-va/7cec8c04-4c34-49f8-827e-d2b08a897478
Ví dụ 1: mang đến ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m&2&3 \ - 1&2&1&0 \ 2&3&0&2 \ 3& - 1&3&1 endarray ight).$ Tìm đk để $A$ khả nghịch, lúc đó:
a) Tìm thành phần nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận $A^-1;$
b) Tìm bộ phận nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận $(6A)^-1;$
c) Tìm bộ phận nằm trên loại 2, cột 3 của ma trận $(6A")^-1;$
d) Tìm các ma trận $(A^*)^-1$ và $(A^-1)^*.$
Giải.Ta tất cả $det (A)=85-10m.$ Vậy $A$ khả nghịch$Leftrightarrow det (A) e 0Leftrightarrow m e dfrac172.$
a) bao gồm $A^-1=dfrac1det (A)A^*$ nên bộ phận cần search là
$dfrac1det (A)a_23^* = dfrac1det (A)A_32 = dfrac185 - 10m( - 1)^3 + 2left| eginarray*20c 1&2&3 \ - 1&1&0 \ 3&3&1 endarray ight| = dfrac1585 - 10m = dfrac317 - 2m.$
b) tất cả $(6A)^-1=dfrac1det (6A)(6A)^*=dfrac16^4det (A)6^3A^*=dfrac16det (A)A^*.$
Vậy thành phần cần tìm kiếm là $dfrac16det (A)a_23^* = dfrac16det (A)A_32 = dfrac16(85 - 10m)( - 1)^3 + 2left| eginarray*20c 1&2&3 \ - 1&1&0 \ 3&3&1 endarray ight| = dfrac12(17 - 2m).$
c) có $(6A")^-1=dfrac16det (A)(A")^*.$(Xem bài giảng)
d) gồm $(A^*)^ - 1 = (A^ - 1)^* = dfrac1det (A)A = dfrac185 - 10mleft( eginarray*20c 1&m&2&3 \ - 1&2&1&0 \ 2&3&0&2 \ 3& - 1&3&1 endarray ight).$
Ví dụ 2:Cho A là ma trận vuông cấp cho n có toàn bộ các phần tử đều là số nguyên. Chứng tỏ rằng ma trận nghịch đảo $A^-1$ có tất cả các thành phần là số nguyên khi và chỉ khi $det (A)=pm 1.$
Giải.Chú ý $a_ijin mathbbZRightarrow A_ijin mathbbZ.$
Nếu $det (A)=pm 1Rightarrow A^-1=dfrac1det (A)A^*=pm A^*$ có tất cả các thành phần là số nguyên.
Ngược lai giả dụ $A^-1$ có toàn bộ các bộ phận là số nguyên thì $det (A^-1)=dfrac1det (A)in mathbbZLeftrightarrow det (A)=pm 1.$
Vậy ta bao gồm điều đề nghị chứng minh.
Tìm ma trận nghịch hòn đảo bằng công thức liên quan đến định thức cùng ma trận phụ hợp$A^ - 1 = dfrac1det (A)A^*.$
Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c a&b \ c&d endarray ight).$ Tìm đk của $a,b,c,d$ nhằm ma trận $A$ tất cả ma trận nghịch đảo. Khi đó tìm ma trận $A^-1.$
Giải.Ta tất cả $det (A)=ad-bc.$ Vậy $A$ bao gồm ma trận nghịch đảo $Leftrightarrow det (A) e 0Leftrightarrow ad-bc e 0.$
Khi kia $A^ - 1 = dfrac1det (A)A^* = dfrac1ad - bcleft( eginarray*20c d& - c \ - b&a endarray ight).$
Ví dụ 2:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3 \ - 1&0&4 \ 2&5& - 1 endarray ight).$ search ma trận nghịch đảo $A^-1$ của $A$ bằng công thức $A^-1=dfrac1det left( A ight).A^*.$
Giải.Ta có $det (A)=-21.$
<egingathered A_11 = left| eginarray*20c 0&4 \ 5& - 1 endarray ight| = - 20,A_12 = - left| eginarray*20c - 1&4 \ 2& - 1 endarray ight| = 7,A_13 = left| eginarray*20c - 1&0 \ 2&5 endarray ight| = - 5 hfill \ A_21 = - left| eginarray*20c 2&3 \ 5& - 1 endarray ight| = 17,A_22 = left| eginarray*20c 1&3 \ 2& - 1 endarray ight| = - 7,A_23 = - left| eginarray*20c 1&2 \ 2&5 endarray ight| = - 1 hfill \ A_31 = left| eginarray*20c 2&3 \ 0&4 endarray ight| = 8,A_32 = - left| eginarray*20c 1&3 \ - 1&4 endarray ight| = - 7,A_33 = left| eginarray*20c 1&2 \ - 1&0 endarray ight| = 2 hfill \ endgathered >
Vậy
Ví dụ 3:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 2& - 1&3\ 1&a&3\ 3&0&2 endarray ight).$
a) search $a$ nhằm $A$ khả nghịch;
b) với $a=-2,$ bằng cách tìm ma trận $(A-3E)^-1$ theo ma trận phụ hợp vận dụng giải phương trình $AX=3X+B$ với
Giải. Ta tất cả $A$ khả nghịch khi và chỉ khi $det left( A ight)=-5a-7 e 0Leftrightarrow a e -dfrac75.$
Ta bao gồm Phương trình $AX=3X+BLeftrightarrow left( A-3E ight)X=BLeftrightarrow X=left( A-3E ight)^-1B$
Khi $a = - 2 Rightarrow D = A - 3E = left( eginarray*20c - 1& - 1&3 \ 1& - 5&3 \ 3&0& - 1 endarray ight) Rightarrow det left( D ight) = 30$
Ta tất cả $D_11 = left| eginarray*20c - 5&3 \ 0& - 1 endarray ight| = 5,D_12 = - left| eginarray*20c 1&3 \ 3& - 1 endarray ight| = 10,D_13 = left| eginarray*20c 1& - 5 \ 3&0 endarray ight| = 15;$
$D_21 = - left| eginarray*20c - 1&3 \ 0& - 1 endarray ight| = - 1,D_22 = left| eginarray*20c - 1&3 \ 3& - 1 endarray ight| = - 8,D_23 = - left| eginarray*20c - 1& - 1 \ 3&0 endarray ight| = - 3;$
$D_31 = left| eginarray*20c - 1&3 \ - 5&3 endarray ight| = 12,D_32 = - left| eginarray*20c - 1&3 \ 1&3 endarray ight| = 6,D_33 = left| eginarray*20c - 1& - 1 \ 1& - 5 endarray ight| = 6$
$ Rightarrow D^ - 1 = dfrac1det left( D ight)D^* = dfrac130left( eginarray*20c 5& - 1&12 \ 10& - 8&6 \ 15& - 3&6 endarray ight)$
$ Rightarrow X = D^ - 1B = dfrac130*left( eginarray*20c 5& - 1&12 \ 10& - 8&6 \ 15& - 3&6 endarray ight)*left( eginarray*20c 3 \ 4 \ - 1 endarray ight) = dfrac130left( eginarray*20c - 1 \ - 8 \ 27 endarray ight).$
Ví dụ 4:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c a&b&0 \ c&0&b \ 0&c&a endarray ight).$ Tính định thức của ma trận $A$ với tìm điều kiện để $A$ khả nghịch. Khi đó hãy kiếm tìm ma trận nghịch hòn đảo $A^-1.$
Giải.
Xem thêm: Cách Học Tiếng Nhật Cơ Bản Cho Người Mới Bắt Đầu Khó Hay Dễ? Lộ Trình Học Từ A
Khai triển theo cột 1 ta bao gồm $det left( A
ight) = aleft| eginarray*20c 0&b \ c&a endarray
ight| - cleft| eginarray*20c b&0 \ c&a endarray
ight| = - abc - abc = - 2abc.$
Ma trận $A$ khả nghịch lúc $det left( A ight) e 0Leftrightarrow abc e 0.$
Áp dụng cách làm $A^ - 1 = dfrac1det left( A ight)A^* = left( eginarray*20c dfrac12a&dfrac12c& - dfracb2ac \ dfrac12b& - dfraca2bc&dfrac12c \ - dfracc2ab&dfrac12b&dfrac12a endarray ight).$
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cung cấp $(A|E) o (E|A^-1).$
Ví dụ 1:Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = left( eginarray*20c 4&2&2\ 2&2&2\ 2&2&6 endarray ight)$ bằng phép thay đổi sơ cấp $(A|E) o (E|A^-1).$
Biến đổi sơ cấp cho ma trận (A|E)
<egingathered (A|E) = left( eginarray*20c 4&2&2&1&0&0 \ 2&2&2&0&1&0 \ 2&2&6&0&0&1 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf - mathbfd_mathbf1mathbf + 2mathbfd_mathbf2 \ mathbf - mathbfd_mathbf1mathbf + 2mathbfd_mathbf3 endsubarray left( eginarray*20c 4&2&2&1&0&0 \ 0&2&2& - 1&2&0 \ 0&2&10& - 1&0&2 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3left( eginarray*20c 4&2&2&1&0&0 \ 0&2&2& - 1&2&0 \ 0&0&8&0& - 2&2 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf - mathbfd_mathbf3mathbf + 4mathbfd_mathbf2 \ mathbf - mathbfd_mathbf3mathbf + 4mathbfd_mathbf1 endsubarray left( eginarray*20c 16&8&0&4&2& - 2 \ 0&8&0& - 4&10& - 2 \ 0&0&8&0& - 2&2 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf1left( eginarray*20c 16&0&0&8& - 8&0 \ 0&8&0& - 4&10& - 2 \ 0&0&8&0& - 2&2 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl dfracmathbf1mathbf16mathbfd_mathbf1 \ dfracmathbf1mathbf8mathbfd_mathbf2 \ dfracmathbf1mathbf8mathbfd_mathbf3 endsubarray left( eginarray*20c 1&0&0&dfrac12& - dfrac12&0 \ 0&1&0& - dfrac12&dfrac54& - dfrac14 \ 0&0&1&0& - dfrac14&dfrac14 endarray ight). hfill \ endgathered >
Vậy$A^ - 1 = left( eginarray*20c dfrac12& - dfrac12&0 \ - dfrac12&dfrac54& - dfrac14 \ 0& - dfrac14&dfrac14 endarray ight).$
Ví dụ 2:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 3&1\ 0&2&3\ 2&a&5 endarray ight).$
a) tìm kiếm $a$ nhằm $A$ khả nghịch; tìm thành phần nằm trên cái thứ hai với cột trang bị hai của ma trận $A^-1.$
b) với $a=-2,$ search ma trận nghịch đảo của $A$ bằng phương pháp biến đổi $(A|E) o (E|A^-1).$ lúc đó tìm ma trận $X$ thoả mãn$AX = left( eginarray*20c 2& - 4\ - 5&3\ 1& - 5 endarray ight).$
Giải.
a) Ta có điều kiện là $det (A)=-3(a+4) e 0Leftrightarrow a e -4.$ lúc đó bộ phận nằm trên loại thứ hai và cột máy hai là $dfrac1det (A)A_22 = dfrac1 - 3(m + 4)left| eginarray*20c 1&1\ 2&5 endarray ight| = - dfrac1m + 4.$
b) cùng với $a = - 2 Rightarrow A = left( eginarray*20c 1& - 3&1\ 0&2&3\ 2& - 2&5 endarray ight).$ lúc đó:
<egingathered (A|E) = left( eginarray*20c 1& - 3&1&1&0&0 \ 0&2&3&0&1&0 \ 2& - 2&5&0&0&1 endarray ight)xrightarrowmathbf - 2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3left( eginarray*20c 1& - 3&1&1&0&0 \ 0&2&3&0&1&0 \ 0&4&3& - 2&0&1 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - 2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3left( eginarray*20c 1& - 3&1&1&0&0 \ 0&2&3&0&1&0 \ 0&0& - 3& - 2& - 2&1 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbfd_mathbf3mathbf + mathbfd_mathbf2 \ mathbfd_mathbf3mathbf + 3mathbfd_mathbf1 endsubarray left( eginarray*20c 3& - 9&0&1& - 2&1 \ 0&2&0& - 2& - 1&1 \ 0&0& - 3& - 2& - 2&1 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf9mathbfd_mathbf2mathbf + 2mathbfd_mathbf1left( eginarray*20c 6&0&0& - 16& - 13&11 \ 0&2&0& - 2& - 1&1 \ 0&0& - 3& - 2& - 2&1 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl dfracmathbf1mathbf6mathbfd_mathbf1 \ dfracmathbf1mathbf2mathbfd_mathbf2 \ mathbf - dfracmathbf1mathbf3mathbfd_mathbf3 endsubarray left( eginarray*20c 1&0&0& - dfrac83& - dfrac136&dfrac116 \ 0&1&0& - 1& - dfrac12&dfrac12 \ 0&0&1&dfrac23&dfrac23& - dfrac13 endarray ight) hfill \ endgathered >
Vậy $A^ - 1 = left( eginarray*20c - dfrac83& - dfrac136&dfrac116 \ - 1& - dfrac12&dfrac12 \ dfrac23&dfrac23& - dfrac13 endarray ight).$
+) Phương trình ma trận:
< = left( eginarray*20c - dfrac83& - dfrac136&dfrac116 \ - 1& - dfrac12&dfrac12 \ dfrac23&dfrac23& - dfrac13 endarray ight)left( eginarray*20c 2& - 4 \ - 5&3 \ 1& - 5 endarray ight) = left( eginarray*20c dfrac223& - 5 \ 1&0 \ - dfrac73&1 endarray ight).>
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cung cấp 2, 3, 4 bằng máy tính cầm tay
Tìm những ma trận $A,A^-1,A^*,left( A^* ight)^-1,left( A^-1 ight)^*$ khi biết một trong những ma trận đó
Chúng ta vận dụng linh hoạt những mối quan hệ giới tính sau: $A^* = left( eginarray*20c A_11&A_21&...&A_n1 \ A_12&A_22&...&A_n2 \ ...&...&...&... \ A_1n&A_2n&...&A_nn endarray ight),A_ij = left( - 1 ight)^i + jM_ij;det left( A^ - 1 ight) = dfrac1det left( A ight);det left( A^* ight) = left( det left( A ight) ight)^n - 1$ với $A^-1=dfrac1det left( A ight)A^*;left( A^* ight)^-1=left( A^-1 ight)^*=dfrac1det left( A ight)A;A=left( A^-1 ight)^-1;A=dfrac1left( det left( A ight) ight)^n-2left( A^* ight)^*.$
Một số bài xích toán minh chứng liên quan cho ma trận nghịch đảo
Câu 37. Cho