Bài viết này Vted reviews đến bạn đọc định hướng và hạng của ma trận kèm các ví dụ với phân loại các dạng toán tự cơ bạn dạng đến nâng cao về hạng của ma trận:
Các dạng toán về ma trận nghịch đảo và phương thức giải
Định nghĩa hạng của ma trận
Xét ma trận $A=(a_ij)_m imes n.$ Đặt $A_i^d = (a_i1,a_i2,...,a_in);A_j^c = left( eginarray*20c a_1j \ a_2j \ ... \ a_nj endarray
ight).$ Hạng của ma trận $A$ là hạng của hệ véctơ chiếc $left A_1^d,A_2^d,..,A_m^d
ight$ và cũng đó là hạng của hệ véctơ cột $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c
ight.$ Được kí hiệu là $r(A).$
Định thức nhỏ của ma trận và quan hệ với hạng của ma trận
Hạng của một hệ véctơ
Các đặc điểm về hạng của ma trận
a) $r(A)=r(A");$
b) giả dụ $A$ là 1 trong ma trận vuông cấp $n$ lúc đó $r(A)=nLeftrightarrow det (A)
e 0,$ phụ thuộc vào tính hóa học này bạn cũng có thể dùng định thức để tìm giỏi biện luận hạng của một ma trận vuông;
c) nếu như $A$ là một trong những ma trận vuông cấp cho $n$ khi đó hệ véctơ loại (hệ véctơ cột) của ma trận $A$ chủ quyền tuyến tính khi và chỉ còn khi $r(A)=n.$
Tổng phù hợp đề thi với giải chi tiết Đề giữa kì Đại số con đường tính Đại học tập bách khoa tp hà nội học kì 20191Tổng hợp đề thi với giải cụ thể Đề giữa kì Giải tích 1 Đại học bách khoa hà nội học kì 20191
1. Tra cứu hạng của ma trận cho trước
Để search hạng của ma trận mang đến trước ta có thể sử dụng phép đổi khác Gauss hoặc thực hiện định thức phủ bọc (định thức con thiết yếu cấp k của ma trận). Thuộc xem các ví dụ sau:
Câu 2:Cho $x,y,z$ là tía nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ search hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z \ y&z&x \ z&x&y endarray
ight).$
Giải. Theo vi – ét tất cả $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ với
Do kia $r(A)le 2.$ mặt khác $D_12^12=xz-y^2Rightarrow y D_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019
e 0.$
Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$
Câu 3:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2& - 1&3 \ 0&3& - 1 \ - 2&4&2 \ 2&5&7 endarray
ight).$
Giải.Ta có:
Vậy $r(A)=3.$
Câu 4:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 1&7&6&9 \ 0&10&1&10 endarray
ight)$ bằng cách thức định thức bao quanh.
Tương tự như tra cứu hạng của ma trận cho trước ta rất có thể sử dụng phép đổi khác Gauss hoặc sử dụngđịnh thức bao quanh(định thức con chủ yếu cấp k của ma trận). Nếu ma trận đề nghị biện luận hạng là một trong những ma trận vuông ta hoàn toàn có thể biện luận hạng của chính nó theo định thức của ma trận đó. Cùng xem những ví dụ sau:
Ví dụ 16:Cho những số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a+b>2$ với ma trận $A = left( eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray
ight).$Biện luận theo $a,b$ hạng của ma trận $A.$
Giải.Đây là ma trận vuông vậy trước hết tính định thức của nó:
<egingathered det (A) = left| eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray
ight| = left| eginarray*20c a + b + 2&a&1&b \ a + b + 2&1&b&1 \ a + b + 2&b&1&a \ a + b + 2&1&a&1 endarray
ight|left( mathbfc_mathbf4mathbf + mathbfc_mathbf3mathbf + mathbfc_mathbf2mathbf + mathbfc_mathbf1
ight) \ = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1&a&1&b \ 1&1&b&1 \ 1&b&1&a \ 1&1&a&1 endarray
ight| = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1&a&1&b \ 0&1 - a&b - 1&1 - b \ 0&b - a&0&a - b \ 0&1 - a&a - 1&1 - b endarray
ight| \ = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1 - a&b - 1&1 - b \ b - a&0&a - b \ 1 - a&a - 1&1 - b endarray
ight| = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1 - a&b - 1&1 - b \ b - a&0&a - b \ 0&a - b&0 endarray
ight|left( mathbf - mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3
ight) \ = (a + b + 2)(a - b)( - 1)^3 + 2left| eginarray*20c 1 - a&1 - b \ b - a&a - b endarray
ight| = (a + b + 2)(a - b)^2(a + b - 2). \ endgathered >
Do $a+b>2Rightarrow det (A)=0Leftrightarrow a=b.$
+) trường hợp $a
e bRightarrow det (A)
e 0Rightarrow r(A)=4.$
+) ví như $a = b Rightarrow a = b > 1 Rightarrow A = left( eginarray*20c 1&a&1&a \ a&1&a&1 \ 1&a&1&a \ a&1&a&1 endarray
ight);D_12^12 = left| eginarray*20c 1&a \ a&1 endarray
ight| = 1 - a^2 2$ cùng ma trận $A = left( eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray
ight).$Biện luận theo $a,b$ hạng của ma trận $A.$
Đây là ma trận vuông vậy trước hết tính định thức của nó:
<egingathered det (A) = left| eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray
ight| = left| eginarray*20c a + b + 2&a&1&b \ a + b + 2&1&b&1 \ a + b + 2&b&1&a \ a + b + 2&1&a&1 endarray
ight|left( mathbfc_mathbf4mathbf + mathbfc_mathbf3mathbf + mathbfc_mathbf2mathbf + mathbfc_mathbf1
ight) \ = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1&a&1&b \ 1&1&b&1 \ 1&b&1&a \ 1&1&a&1 endarray
ight| = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1&a&1&b \ 0&1 - a&b - 1&1 - b \ 0&b - a&0&a - b \ 0&1 - a&a - 1&1 - b endarray
ight| \ = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1 - a&b - 1&1 - b \ b - a&0&a - b \ 1 - a&a - 1&1 - b endarray
ight| = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1 - a&b - 1&1 - b \ b - a&0&a - b \ 0&a - b&0 endarray
ight|left( mathbf - mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3
ight) \ = (a + b + 2)(a - b)( - 1)^3 + 2left| eginarray*20c 1 - a&1 - b \ b - a&a - b endarray
ight| = (a + b + 2)(a - b)^2(a + b - 2). \ endgathered >
Do $a+b>2Rightarrow det (A)=0Leftrightarrow a=b.$
+) nếu $a
e bRightarrow det (A)
e 0Rightarrow r(A)=4.$
+) trường hợp $a = b Rightarrow a = b > 1 Rightarrow A = left( eginarray*20c 1&a&1&a \ a&1&a&1 \ 1&a&1&a \ a&1&a&1 endarray
ight);D_12^12 = left| eginarray*20c 1&a \ a&1 endarray
ight| = 1 - a^2 $r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$
Chứng minh xem bài bác giảng trên đây:https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html
hoặc tại đây:https://askmath.vn/cau-hoi/dinh-li-ve-hang-cua-ma-tran-phu-hop-cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu/d82056f4-cd53-4877-b64b-ad797fc95185
Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&1 \ - 3&4&2&1 \ 4& - 3&2&1 \ - 1&2&1&3 endarray
ight).$ Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A^*$ là ma trận phụ thích hợp của $A.$
Ta sử dụng các đặc điểm về hạng của ma trận sau đây:
$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ với $A,B$ là nhị ma trận cùng cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ với $A,B$ là nhì ma trận bất kì thế nào cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ cùng với $A,B$ là hai ma trận vuông thuộc cấp.
Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cung cấp $n$ đồng tình $A^2=E.$ chứng tỏ rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$
Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:
$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$
Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$
Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ gồm $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019
ight,forall i
e j.$ chứng minh rằng $r(A)ge n-1.$
Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ lúc đó $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ cùng với
Do kia $det (C)-(-1)^n$ phân chia hết cho 2018, tức $det (C)
e 0Rightarrow r(C)=n.$
Mặt khác $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$
Ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ gồm $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ tìm kiếm hạng của ma trận $A.$
Giải. Ta tất cả $r(B)=r(C)=1$ cùng $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$
Mặt khác $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray
ight| = - 1
e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$
Ví dụ 4: Cho hai ma trận $A,B$ vuông cùng cấp làm thế nào để cho $A^2=A,B^2=B$ với ma trận $E-A-B$ khả nghịch. Minh chứng rằng $r(A)=r(B).$
Giải. Do $E-A-B$ khả nghịch nên$left = – 3 ne 0) R(A) )=2
Một số hậu quả:
(beginarrayl R(A_m,x,n) le ,min left m,n right R(A) = R(A^T) R(A_ ) n,x,n) = n Trái phảimũi tên trái d_1) (nhân mẫu i với (a_rm1j ) , nhân loại 1 cùng với (-a_rmij ) rồi cộng vào trong dòng i).Bước 4: Lặp lại công việc trên cùng với ma trận bé từ ma trận đầu tiên bằng phương pháp xóa loại 1.Bước 5: Lặp lại các bước trên cho tới khi bạn đã đạt được hình dạng bậc thang.
